本文解决问题：三角函数图像特性难记，三角函数常用值难背，诱导公式不熟，常用恒等式难背，公式的来源心慌，常用公式对应的题型不熟等等。为你实现过目不忘，做到真正的了然于心，一天之内掌握三角函数题型里除导数外的大部分题型，价值较高，值得收藏。

三角函数上篇讲来龙去脉

中篇强调定理的证明

下篇强调图形与案例

内容概览：

速记分享：

常用三角函数的值

“永久记住只需要3步”

思路：

1，记住sinπ/6的图像也就是sin30度的图像，斜边等于垂直边的2倍，如图：

2，额外再背诵2个带根号的值

3，将弧度与度数对应起来，并将度数顺序重新调整为30度，60度，45度，90度，0度这个顺序，然后发现sinα的值与cosα的值是一一对应的，那么cosα无需记忆。由于tanα=sinα/cosα，则tanα同样无需记忆，瞬间完成背诵

常用三角函数关系表达

一张图立刻记忆sinα，cosα，tanα，secα，cscα，cotα的关系

图形特性速记

函数图像上下分别的宽度，amplitude，翻译过来叫振幅，首字母缩写为A

函数图像上在某个范围里的重复，period，翻译过来叫周期，首字母缩写为P

函数在x轴上的水平位移， horizontal shift，左+右-，首字母缩写为HS

函数在y轴上的垂直位移，vertical shift，上+下-，首字母缩写为VS

综合起来

诱导公式速记

案例验证如下：

经典恒等式

恒等式最重要的三个，分别用三张图记忆

1，针对第一个

根据勾股定理，在单位圆中求OP边

2，针对第二个

通过定理的证明过程，从图像观察实现原理上的速记

3，针对第三个

通过以上第2个公式，推出这第3个公式，从原理上速记

特殊恒等式

通过一张图实现永久记忆

常规定理查表

综合练习：

弧度

例1：半径为10米的圆上，求以下中心角对应的弧长？

1，4π/5

2，110度

思路：

1，从定理表中，查出弧长公式

其中θ是弧度

2，将度数换成弧度

3，利用公式计算弧长

解法：

例2：在半径为8的圆中，一条弧的长度为10π，该弧对应的中心角的弧度和角度是多少？

思路：

1，从定理表中找出弧长公式

其中θ是弧度

2，根据弧长公式，和已知条件弧长与半径，反向求出θ角

解法：

例3，圆直径12，求圆心角80度的对应弧长？

思路：

1，从定理表中找出弧长公式

其中θ是弧度

2，半径是直径的一半，再将度数换成弧度，代入弧长公式求解

解法：

例4，直径1米的圆，滚动30厘米，转动多少角度？

思路：

1，从定理表中找出弧长公式

其中θ是弧度

2，根据直径求出半径，半径是直径的一半，根据弧长公式反推角度

解法：

例5，计算数值

思路：

1，常用三角函数数值，三角函数关系表达图，诱导公式图，进行计算

解法：

性质

例6，sin，cos，tan，根据其中一个值，求出另外2个值

思路：

1，明确任意角的三角函数定义方法，在坐标轴上取点，然后代入三角函数公式

解法：

例7，求出以下函数的周期

思路：

1，找出图形特性图，根据特性求解周期

2，根据图形特性，将题目中的函数变换为标准型，求得P值，即周期

解法：

例8，绘制图像

思路：

1，先将tan的图像使用5点作图法画出

2，在取各个值的倒数或者负数，画出目标值

3，从图像上判断周期与对称性

解法：

例9，用α与θ表示r

定理巩固：

例10：已知扇形周长是20，该面积最大值为多少？

思路，根据条件周长20，代入定理表中扇形周长公式，得出半径R与角度θ的等式关系。将扇形面积公式中的角度θ完全由半径R替换，形成的面积公式进行一下技术变换，看出最大值是25

定理查表：

例11：在坐标系中，已知角θ的终边过点P（-5，-1），求sinθ+cosθ的值？

思路，根据sin与cos的值只与P点的x，y值相关。可以用p点先求出x与y的值，再根据x，y的值求出r的值，最后求得sinθ+cosθ的值

定理查表：

例12：

思路：从定理表中，知道诱导公式，通过诱导公式化简上述值，根据平方和公式得出sin与cos分别的值，最后得到计算结果

定理查表：

例13：

思路：先根据诱导公式化简f（a），和cos（α+π/2），根据平方和公式求得sinα与cosα的值，再求出f（a）的值

定理查表：

例14：已知tanα=-5，α是第二象限角，求sinα+cosα的值？

思路：根据tanα=sinα/cosα=-5得出sinα与cosα的关系等式，代入未知数n求得组成sinα与cosα具体x，y，r的值，然后求出sinα+cosα的值

定理查表：

例15：若cos（-160 `）=a，则tan=20 `等于多少？

思路：tan20 `=sin20 `/cos20 `，求sin20`与cos20`的值，根据cos（-160`）=cos（20`-π），通过诱导公式进行变换求得cos20`的值，再通过平方和公式求得sin20`的值，然后代入tan20`

定理查表：

例16：

思路：这个题目我不喜欢，但是在某些特定的建模领域内也需要一定程度的换元变换，本质就是在宏观层面找到一定的设计规律，用更简单的变量做计算替换

定理查表：

例17：

思路：利用平方和公式，求得sinθcosθ的值，根据θ角度小于45度，因此sinθ-cosθ<0，求出sinθ-cosθ的值，再分别求出sinθ与cosθ的值，根据tanθ=sinθ/cosθ求tanθ

定理查表：

例18：

已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）的值为多少？

思路：基于两角和差的正弦定理从sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0的关系中配出sinαcosβ与sinβcosα的值，进而求出sin（α+β）的值

定理查表：

例19：

思路：对于无法使用诱导公式的类型，可以采用赋值抽象角的方法，将目标α+β转换为另外两个角a与b的和或者差，再通过α与β的角度大小，判断出对应的a与b角在第几象限，求出角a与角b的正余弦，最后根据两角和差的余弦定理求得目标

定理查表：

例20：

思路：cosβ=cos【（α+β）-α】 根据两角和差余弦定理，可以得到cosβ

定理查表：

例21：将两个函数合成一个函数，推理过程参考三角函数中篇

思路：

1. 硬算，利用两角和差正弦定理拆开条件1，结合平方和定理，将sinθ和cosθ值算出来
2. 使用将两个函数合成一个函数（辅助角定理），根据拆开的条件1，整合成目标

定理查表：

例22：

思路：用两角和差正弦定理来拆开条件，重新按照sinx与cosx进行组合，配成一组sin（x+c）的函数

定理查表：

例23：

思路：将x轴与Q射线的夹角设为α，将x轴与P射线的夹角设为β，θ=α-β，通过诱导公式将问题简化，在通过2角和差公式的正弦与余弦定理拆开，进行计算得值

定理查表：

例24：

思路：将tan(α-2β)拆分成tan（（α-β）-β），通过查表，用两角和的正切公式，计算得值。如果不能查表，通过两角和的正弦定理与余弦定理可以立即推出正切公式，再代入计算

定理查表：

例25：

思路：

通过诱导公式简化目标函数，再利用已知条件设出抽象角A与角B，利用A与B的组合达到简化后的目标函数的弧度，利用两角和差的余弦定理，求出值

定理查表：

例26：

思路：

将2α统一化简为α，将cos转化为sin，结合平方和定理，根据α的取值判定sinα的符号与取值范围，最终通过计算得值

定理查表：

例27：

思路：

Cos2α化简为cosα的表达式，通过已知条件sinα+cosα与平方和定理，推出sinα-cosα，根据α弧度的取值范围，得出cosα的值，再推出cos2α

定理查表：

例28：

思路：先考虑换元法，进行求解，解不出来就直接硬算

定理查表：

图形回顾：

sinα的图像

cosα的图像

tanα的图像

图像变换

例29，画出函数y=|tanx|cosx（-π/2<x<π/2）的大致图像

思路：先把函数化简，分段求出表达式，然后根据sinx的函数图像描点画图

例30，sinx=5n+1，在x∈[0,2π]上有解，求n的取值范围

思路：因为sinx在x∈[0,2π]之间正好是一个完整的周期，因此sinx大于等于-1或者sinx小于等于1，用fn+1替换sinx，建立不等式-1<=5n+1<=1，求出n的取值范围

例31，坐标轴上，y=2cosx （0<x<π）和y=3tanx相交A,B两点，求OAB的面积大小？

思路，两个函数图像相交，求出满足相交的x值，然后代入y=2cosx图像，求出AB两点，连线OAB，找出三角形的底边与三角形的高，求得面积值

例32，绘制y=tan（x-π/4）在一个周期内的图像

思路：绘制tanx的图像，然后在x轴上将图像向右平移π/4

例33，绘制sin（2x+2*π/3）的图像

思路：5点作图法

例34，

思路：

1. 画出常规sinα的图像

1. 根据图像可知，令3x+π/5=α时，α在0，π，2π等kπ（k属于整数）条件下，sinα的值可以取0，也就是零点，那么需要判断[0,π]之间有多少个kπ，则根据条件可以得

1. 将x用k的未知数表现出来

1. 因为x属于[0,π]，因此可以列出不等式

1. 因为k属于整数，因此k只能取值1,2,3
2. 即该函数的零点为3个

例35，

思路：

1. 不等式中有绝对值，首先就把绝对值去掉，让等式变得简单。

x属于2象限角，且角度在135度到180度之间，因此sinx>0,cosx<0,则tanx=sinx/cosx<0，

tanx+sinx=（1+cosx）sinx/cosx，因为1+cosx>0，而sinx/cosx<0,所以（1+cosx）sinx/cosx<0,

|tanx+sinx|= - (tanx+sinx)，则原式化简为sinx-tanx-tanx-sinx-k= - 2tanx-k<=0即k>=-2tanx

1. 只要求出-2tanx的最大值，就能求出k值。因为x的domain域为[3π/4，π]，tanx函数图像为单调递增

-2tanx函数正好是反过来单调递减的函数，因此3π/4处的函数值有最大值，即-2tanx=2，求得k>=2

例36，

如何将函数y1=2sin5x变换成y2=2sin（5x+3）？

思路：

1，5x+3=5（x+3/5）,左移+右移-

2，即将函数y1向左平移3/5，即可将y1变换成y2

例37，

将y=f(x)横坐标变为1/2，再向右平移π/3，得到解析式sin（x-π/4），求原f（x）

思路：

1. 令原f（x）=sin（Ax+B），变换则依次为，sin（2Ax+B）,

sin（2A（x-π/3）+B）=sin（2Ax-2Aπ/3+B）=sin（x-π/4）

1. 得方程组2A=1，B-2Aπ/3=-π/4，解得A=1/2，B=π/12，则

原f（x）=sin（x/2+π/12）

例38，

思路：

例题39，

三角函数周期表

例40，找出定义域

思路：

1，画出sinα的图像，将目标负数翻转成正数，画出相交线

2，找出正数相交点与负数相交点的关系

3，求出2个正数相交点x1，x2

4，求出定义域

例41，找出定义域

思路:

1，画出cosα的图像

2，找到与y=-1/2相交的两点x1，x2

3，求出α的范围

4，求出x的取值范围

例42，找出定义域

思路：

1，画出tanx与cosx的图像

2，找出满足2个条件的定义域

3，找出定义域的交集

例43，找出值域

思路：

1，先根据x的定义域，求出2x+π/3的定义域，令α=2x+π/3，求出cosα的值域

2，再求出1-cosα/2的值域

例44，找出值域

思路：

1，两角和正弦公式拆开sin函数，再计算化简成一个新的sin函数

2，根据x的定义域，求出化简后sin函数的定义域

3，根据y的值域，判断定义域的中最小值的取值范围

4，计算得到w的值